Mesure de l'intensité des séismes

Partie A : mesure du séisme de Nice

Un sismographe est un instrument qui permet de mesurer l’intensité des séismes. Il est équipé de capteurs qui permettent de tracer des courbes correspondant aux amplitudes des vibrations de la croûte terrestre.

Le graphique ci-dessous est un extrait des relevés du séisme s’étant produit dans la région de Nice (France) le 18 mars 2025 à 21:24 (GMT). (Source : France Hexagonale).
Le point \(\text{P}\) indique le début des secousses.

Dans ce tracé, l'amplitude maximale mesure à peu près \(10~000 \ \text{microns}\).

Pour comparer les relevés, un sismologue s’intéresse aux ordres de grandeur des oscillations. Pour cela, on cherche le réel \(x\) tel \(10^x=L\) où \(L\) est la mesure de l’amplitude de l'oscillation en microns (millièmes de millimètre). On dira alors que le séisme a une magnitude de valeur \(x\).

Voici le titre du journal Le Monde du 18 mars 2025 qui rapporte cette information : « La Côte d'Azur secouée par un séisme de magnitude \(4{,}1\) et ses répliques. »

À l'aide des informations fournies, justifier la valeur \(4{,}1\) indiquée dans le titre de l'article.

Partie B : construction d'une échelle logarithmique

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (en arrondissant au dixième si besoin).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x &~0~&0{,}5&~1~&1{,}5&~2~&\text2{,}5&~3~&3{,}5&~~4~~\\ \hline 10^x &~~~~~~&~~~~~~&~~~~~~ &~~~~~~ &~~~~~~ &~~~~~~ &~~~~~~ &~~~~~~ &~~~~~~\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

2. À l'aide du tableau, déterminer la valeur du réel \(x\) pour les mesures des oscillations suivantes, en microns : \(L = 1~000\) ; \(L = 10\) ; \(L=1\).
3. À l'aide du tableau, donner un encadrement d'amplitude \(0{,}5\) du réel \(x\) pour les mesures des oscillations suivantes, en microns : \(L = 31\) ; \(L = 3~160\).
4. À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, d'amplitude \(0{,}1\) du réel \(x\) pour la mesure de l'oscillation suivante, en microns : \(L=5~000\).

Vocabulaire
Étant donné un nombre réel strictement positif \(L\), le nombre réel \(x\) tel que \(10^x=L\) est appelé logarithme décimal du nombre \(L\). On le note \(\text{log} (L)\).

Remarque
L’échelle de Richter est une échelle utilisée pour mesurer l’intensité des séismes. Cette échelle repose globalement sur le même principe, c'est-à-dire déterminer l’ordre de grandeur des vibrations mesurées à l’aide d’exponentielles de base \(10\).

Partie C : l'échelle de Richter

L'échelle de Richter permet de quantifier l'intensité des séismes. La formule utilisée pour calculer la magnitude sur l'échelle de Richter est la suivante \(M=\text{log}⁡(A)−\text{log}⁡(A_0)\) où :

• \(M\) représente la magnitude du séisme ;
• \(A\) est l'amplitude maximale des ondes sismiques enregistrées par un sismographe ;
• \(A_0\) est une valeur de référence qui dépend de la distance entre l'épicentre et le sismographe ;
• \(A\) et \(A_0\) sont des longueurs exprimées avec la même unité.
  

1. a. Exprimer la formule à l'aide d'un seul \(\text{log}\).
    b. Montrer qu'une augmentation d'une unité sur l'échelle de Richter correspond à une multiplication par \(10\) de l'amplitude des ondes enregistrées.
2. Un sismographe enregistre une amplitude maximale de \(10\) mm. La distance par rapport à l'épicentre donne une valeur de référence \(0{,}001\) mm. Déterminer la puissance de ce séisme sur l'échelle de Richter.
3. On dit que l'échelle de Richter est « ouverte », ce qui signifie qu'il n'y a pas de valeur maximale prédéfinie pour la magnitude d'un séisme. Quel a été le séisme le plus puissant jamais enregistré ? Préciser la magnitude mesurée.